Е-ОСАГО таки заработало. Более того, за пару недель до окончания полиса страховая напомнила, что вот-вот закончится моя диагностическая карта и неплохо бы оформить полис заранее по старой карте.
Единственный момент: интереса ради пробовал оформить на 100% самостоятельно, но автоматически считался предыдущий уровень КБМ. По почте отписал в страховую, быстро прислали ссылку на оплату полиса с правильным КБМ (заполнять вообще ничего не пришлось).